如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于F.(1)...
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如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于F.
(1)*:PC=PE;
(2)求∠CPE的度数;
(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当∠ABC=120°时,连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由.
【回答】
(1)*:在正方形ABCD中,AB=BC,
∠ABP=∠CBP=45°,
在△ABP和△CBP中,
,
∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴PA=PC,
∵PA=PE,
∴PC=PE;
(2)由(1)知,△ABP≌△CBP,
∴∠BAP=∠BCP,
∴∠DAP=∠DCP,
∵PA=PE,
∴∠DAP=∠E,
∴∠DCP=∠E,
∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等),
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E,
即∠CPF=∠EDF=90°;
(3)在菱形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP,
在△ABP和△CBP中,
,
∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴PA=PC,∠BAP=∠BCP,∴∠DAP=∠DCP,
∵PA=PE,∴PC=PE,
∵PA=PE,∴∠DAP=∠E,∴∠DCP=∠E,
∵∠CFP=∠EFD,∴∠CPF=∠EDF
∵∠ABC=∠ADC=120°,
∴∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=60°,
∴△EPC是等边三角形,
∴PC=CE,
∴AP=CE;
知识点:三角形全等的判定
题型:解答题