如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF.给出下列五个结论：...

来源：语文精选馆 2.32W

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如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF.给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=2EC.其中正确的结论是___________________（填序号）

【回答】

①②④

【解析】

【分析】

过P作PG⊥AB于点G，根据正方形对角线的*质及题中的已知条件，*△AGP≌△FPE后即可*①AP=EF；④∠PFE=∠BAP；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的*质，在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得⑤DP=EC．

【详解】

*：过P作PG⊥AB于点G，

∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点， ∴GP=EP，在△GPB中，∠GBP=45°， ∴∠GPB=45°， ∴GB=GP，同理，得 PE=BE， ∵AB=BC=GF， ∴AG=AB-GB，FP=GF-GP=AB-GB， ∴AG=PF， ∴△AGP≌△FPE， ①∴AP=EF； ∠PFE=∠GAP ∴④∠PFE=∠BAP， ②延长AP到EF上于一点H， ∴∠PAG=∠PFH， ∵∠APG=∠FPH， ∴∠PHF=∠PGA=90°，即AP⊥EF； ③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP=45度， ∴当∠PAD=45度或67.5度或90度时，△APD是等腰三角形，除此之外，△APD不是等腰三角形，故③错误． ∵GF∥BC， ∴∠DPF=∠DBC，又∵∠DPF=∠DBC=45°， ∴∠PDF=∠DPF=45°， ∴PF=EC， ∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2， ∴⑤DP=EC． ∴其中正确结论的序号是①②④．