已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，C...

问题详情：

已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

（1）求*：EG=CG；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出*；若不成立，请说明理由．     

（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求*）

【回答】

1）*：在Rt△FCD中, ∵G为DF的中点, ∴ CG= FD．（1分） 同理,在Rt△DEF中, EG= FD．（2分） ∴ CG=EG．（3分） （2）（1）中结论仍然成立,即EG=CG．（4分） *法一：连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点． 在△DAG与△DCG中, ∵ AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG, ∴ △DAG≌△DCG． ∴ AG=CG．（5分） 在△DMG与△FNG中, ∵ ∠DGM=∠FGN,FG=DG,∠MDG=∠NFG, ∴ △DMG≌△FNG． ∴ MG=NG 在矩形AENM中,AM=EN．（6分） 在Rt△AMG 与Rt△ENG中, ∵ AM=EN,MG=NG, ∴ △AMG≌△ENG． ∴ AG=EG． ∴ EG=CG． （8分） *法二：延长CG至M,使MG=CG, 连接MF,ME,EC,（4分） 在△DCG 与△FMG中, ∵FG=DG,∠MGF=∠CGD,MG=CG, ∴△DCG ≌△FMG． ∴MF=CD,∠FMG＝∠DCG．  ∴MF‖CD‖AB（5分） ∴ ． 在Rt△MFE 与Rt△CBE中, ∵ MF=CB,EF=BE, ∴△MFE ≌△CBE（6分） ∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°． （7分） ∴ △MEC为直角三角形． ∵ MG = CG, ∴ EG= MC．（8分）

（3）（1）中的结论仍然成立, 即EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．（12分）

知识点：特殊的平行四边形

题型：综合题