已知正方形ABCD中，点E，F分别为BC，CD上的点，连接AE，BF相交于点H，且AE⊥BF.(1)如图1，连...

问题详情：

已知正方形ABCD中，点E，F分别为BC，CD上的点，连接AE，BF相交于点H，且AE⊥BF.

(1)如图1，连接AC交BF于点G，求*：∠AGF＝∠AEB＋45°；

(2)如图2，延长BF到点M，连接MC，若∠BMC＝45°，求*：AH＋BH＝BM；

(3)如图3，在(2)的条件下，若点H为BM的三等分点，连接BD，DM，若HE＝1，求△BDM的面积．

【回答】

解：

(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠ACB＝∠ACD＝45°，∵AE⊥BF，∴∠AEB＋∠FBC＝90°，∵∠FBC＋∠BFC＝90°∴∠AEB＝∠BFC，∵∠AGF＝∠BFC＋∠ACF，∴∠AGF＝∠AEB＋45°　(2)过C作CK⊥BM于K，∴∠BKC＝∠AHB＝90°，∵∠BMC＝45°，∴CK＝MK，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠ABH＝∠BCK，∴△ABH≌△BCK(AAS)，∴BH＝CK＝MK，AH＝BK，∴BM＝BK＋MK＝AH＋BH　(3)由(2)得，BH＝CK＝MK，∵H为BM的三等分点，∴BH＝HK＝KM，过E作EN⊥CK于N，∴四边形HENK是矩形，∴HK＝EN＝BH，∠BHE＝∠ENC，∴△BHE≌△ENC(ASA)，∴HE＝CN＝NK＝1，∴CK＝BH＝2，∴BM＝6，连接CH，∵HK＝MK，CK⊥MH，∠BMC＝45°，∴CH＝CM，∠MCH＝90°，∴∠BCH＝∠DCM，∴△BHC≌△DMC(SAS)，∴BH＝DM＝2，∠BHC＝∠DMC＝135°，∴∠DMB＝90°，∴△BDM的面积为DM·BM＝6

知识点：特殊的平行四边形

题型：解答题