如图,已知在正方形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,△AEF是等边三角形,连接AC交EF于G,给出下列结...
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如图,已知在正方形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,△AEF是等边三角形,连接AC交EF于G,给出下列结论:
①BE=DF;②∠DAF=15°;③AC垂直平分EF;④BE+DF=EF.
其中结论正确的共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【回答】
C【考点】正方形的*质;全等三角形的判定与*质;线段垂直平分线的*质;等边三角形的*质.
【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF,从而得出∠BAE=∠DAF,BE=DF,由正方形的*质就可以得出EC=FC,就可以得出AC垂直平分EF,设EC=x,BE=y,由勾股定理就可以得出x与y的关系,表示出BE与EF,再通过比较可以得出结论.
【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°.
∵△AEF等边三角形,
∴AE=EF=AF,∠EAF=60°.
∴∠BAE+∠DAF=30°.
在Rt△ABE和Rt△ADF中,
,
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL),
∴BE=DF(故①正确).
∠BAE=∠DAF,
∴∠DAF+∠DAF=30°,
即∠DAF=15°(故②正确),
∵BC=CD,
∴BC﹣BE=CD﹣DF,即CE=CF,
∵AE=AF,
∴AC垂直平分EF.(故③正确).
设EC=x,由勾股定理,得
EF=x,CG=x,
AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=x,
∴AC=,
∴AB=,
∴BE=﹣x=,
∴BE+DF=x﹣x≠x.(故④错误).
正确的有3个.
故选:C.
【点评】本题考查了正方形的*质的运用,全等三角形的判定及*质的运用,勾股定理的运用,等边三角形的*质的运用,解答本题时运用勾股定理的*质解题时关键.
知识点:特殊的平行四边形
题型:选择题