问题发现如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，点D、F分别在边AB、AC上，请直接写出线段...

问题详情：

问题发现

如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，点D、F分别在边AB、AC上，请直接写出线段BD、CF的数量和位置关系；

（2）拓展探究

如图2，当正方形ADEF绕点A逆时针旋转个锐角θ时，上述结论还成立吗？若成立，请给予*；若不成立，请说明理由；

（3）解决问题

如图3，在（2）的条件下，延长BD交直线CF于点G．当AB=3，AD=，θ=45°时，直接写出线段BG的长．

【回答】

解：（1）BD=CF，BD⊥CF，理由如下：

∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，

∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，

∴BD=CF，BD⊥CF；

（2）成立，理由如下：

∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，

∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，

∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，

∴∠BAD=∠CAF，

在△BAD与△CAF中，

，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴BD=CF，

延长BD，分别交直线AC、CF于点M，G，如图2，

∵△BAD≌△CAF，

∴∠ABM=∠GCM，

∵∠BMA=∠CMG，

∴∠BGC=∠BAC=90°，

∴BD⊥CF；

（3）由旋转和正方形的*质可得：当θ=45°时，点E恰好落在AC上，

∵AD=，

∴AE=2，

设BG交AC于点M，过点F作FN⊥AC于点N，如图3，则AN=FN=AE=1，

∵在等腰直角三角形ABC中，AB=3，

∴CN=AC﹣AN=2，BC=，

在Rt△FCN中，tan∠FCN=，

∴在Rt△ABM中，tan∠ABM=，

∴AM=，[来源:学科网ZXXK]

CM=AC﹣AM=，BM=，

∵△BMA∽△CMG，

∴，

∴，

∴CG=，

∴在Rt△BGC中，BG=．

知识点：图形的旋转

题型：综合题