如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，DE⊥AC，垂足为点F，连接BF，下列四个结论：①△CEF∽△ACD...
问题详情：
如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，DE⊥AC，垂足为点F，连接BF，下列四个结论：①△CEF∽△ACD；②
=2；③sin∠CAD=
；④AB=BF．其中正确的结论有 （写出所有正确结论的序号）．
【回答】
①②④
【考点】相似三角形的判定与*质；矩形的*质；解直角三角形．
【分析】①正确．四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，则∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB．
②正确由AE=
AD=
BC，又AD∥BC，所以
=
=．
③错误．设CF=a，AF=2a，由DF2=AF•CF=2a2，得DF=
a，AD=
=
a，可得sinCAD=
=
=
．
④正确．连接AE，由∠ABE+∠AFE=90°，推出A、B、E、F四点共圆，推出∠AFB=∠AEB，由△ABE≌△CDE，推出∠AEB=∠CED，由∠BAF+∠BEF=180°，∠BEF+∠CED=180°，推出∠BAF=∠CED，推出∠BAF=∠BFA，即可*．
【解答】解：过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ADC=90°，AD=BC，BE⊥AC于点F，
∴∠DAC=∠ECF，∠ADC=∠CFE=90°，
∴△CEF∽△ADC，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△CEF∽△ADF，
∴
=
，
∵CE=
BC=
AD，
∴
=
=2，
∴AF=2CE，故②正确，
设CF=a，AF=2a，由DF2=AF•CF=2a2，得DF=
a，AD=
=
a
∴sinCAD=
=
=
，故③错误．
连接AE，∵∠ABE+∠AFE=90°，
∴A、B、E、F四点共圆，
∴∠AFB=∠AEB，
∵AB=CD，BE=EC，∠CDE，
∴△ABE≌△CDE，
∴∠AEB=∠CED，
∵∠BAF+∠BEF=180°，∠BEF+∠CED=180°，
∴∠BAF=∠CED，
∴∠BAF=∠BFA，
∴BA=BF，故④正确．
故*为①②④．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和*质，矩形的*质，全等三角形的判定和*质、四点共圆等知识，正确的作出辅助线是解题的关键，学会利用此时解决问题，属于中考常考题型．
知识点：相似三角形
题型：填空题
