如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是AB边上一点，BF=3AF，则下列四个结论：①△AEF∽△DCE...

问题详情：

如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是AB边上一点，BF=3AF，则下列四个结论：

①△AEF∽△DCE；

②CE平分∠DCF；

③点B、C、E、F四个点在同一个圆上；

④直线EF是△DCE的外接圆的切线；

其中，正确的个数是(     )

A．1个  B．2个   C．3个  D．4个

【回答】

D【考点】四边形综合题．

【分析】由正方形的*质得出AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠D=90°，设AF=a，则BF=3a，AB=BC=CD=AD=4a，*出AE：DE=AE：CD，即可得出①正确；

先*出∠CEF=90°，由勾股定理求出EF=a，CE=2a，得出EF：CE=DE：CD，*出△CEF∽△CDE，得出∠FCE=∠DCE，得出CE平分∠DCF，②正确；

由∠B+∠CEF=180°，得出B、C、E、F四个点在同一个圆上，③正确；

由△DCE是直角三角形，得出外接圆的圆心是斜边CE的中点，CE是直径，由EF⊥CE，得出直线EF是△DCE的外接圆的切线，④正确．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠D=90°，

∵E是AD的中点，

∴AE=DE，

∵BF=3AF，

设AF=a，则BF=3a，AB=BC=CD=AD=4a，

∵AF：DE=1：2，AE：CD=1：2，

∴AE：DE=AE：CD，

∴△AEF∽△DCE，

∴①正确；∠AEF=∠DCE，

∵∠DEC+∠DCE=90°，

∴∠AEF+∠DEC=90°，

∴∠CEF=90°，

∵EF==a，CE==2a，

∴EF：CE=1：2=DE：CD，

∴△CEF∽△CDE，

∴∠FCE=∠DCE，

∴CE平分∠DCF，

∴②正确；

∵∠B=90°，∠CEF=90°，

∴∠B+∠CEF=180°，

∴B、C、E、F四个点在同一个圆上，

∴③正确；

∵△DCE是直角三角形，

∴外接圆的圆心是斜边CE的中点，CE是直径，

∵∠CEF=90°，

∴EF⊥CE，

∴直线EF是△DCE的外接圆的切线，

∴④正确，

正确的结论有4个．故选：D．

【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的*质、相似三角形的判定与*质、勾股定理、四点共圆等知识；本题综合*强，有一定难度，熟练掌握正方形的*质，并能进行推理论*与计算是解决问题的关键．

知识点：相似三角形

题型：选择题