如图，在正方形ABCD中，AB=5，P是BC边上任意一点，E是BC延长线上一点，连接AP，作PF⊥AP，使PF...

问题详情：

如图，在正方形ABCD中，AB=5，P是BC边上任意一点，E是BC延长 线上一点，连接AP，作PF⊥AP，使PF＝PA，连接CF，AF，AF交CD边于点G，连接PG．

（1）求*：∠GCF＝∠FCE；

（2）判断线段PG，PB与DG之间的数量关系，并*你的结论；

（3）若BP＝2，在直线AB上是否存在一点M，使四　

边形DMPF是平行四边形，若存在，求出BM的

长度，若不存在，说明理由．

【回答】

（1）*：过点F作FH⊥BE于点H，

          ∵四边形ABCD是正方形，

          ∴∠ABC＝∠PHF＝∠DCB＝90º,AB＝BC，

          ∴∠BAP＋∠APB＝90º

          ∵AP⊥PF,

          ∴∠APB＋∠FPH＝90º

          ∴∠FPH＝∠BAP

          又∵AP＝PF

         ∴△BAP≌△HPF

         ∴PH＝AB，BP＝FH 

           ∴PH＝BC

         ∴BP＋PC＝PC＋CH

         ∴CH＝BP＝FH  

          而∠FHC＝90º. ∴∠FCH＝CFH＝45º

           ∴∠DCF＝90º－45º＝45º

           ∴∠GCF＝∠FCE  

        （2）PG＝PB＋DG

           *：延长PB至K，使BK=DG,

            ∵四边形ABCD是正方形

           ∴AB=AD, ∠ABK＝ADG=90º

         ∴△ABK≌△ADG 

          ∴AK=AG, ∠KAB＝∠GAD,

          而∠APF=90 º,AP=PF

           ∴∠PAF＝∠PFA＝45 º

           ∴∠BAP＋∠KAB＝∠KAP＝45 º＝∠PAF

            ∴△KAP≌△GAP  

            ∴KP=PG,

          ∴KB＋BP=DG＋BP＝PG

           即，PG＝PB＋DG； 

          （3）存在.

             如图，在直线AB上取一点M，使四边形DMPF是平行四边形，

             则MD∥PF，且MD＝FP，

              又∵PF=AP，

             ∴MD=AP

             ∵四边形ABCD是正方形，

              ∴AB=AD，∠ABP=∠DAM

             ∴△ABP≌△DAM  

          ∴AM＝BP=2，

            ∴BM＝AB－AM=5－2=3. 

            ∴当BM=3，BM+AM=AB时，四边形DMPF是平行四边形．

知识点：特殊的平行四边形

题型：解答题