边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P与A、C不重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转...
问题详情：
边长为2
的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P与A、C不重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，QP与BC交于点E，QP延长线与AD（或AD延长线）交于点F．
（1）连接CQ，*：CQ=AP；
（2）设AP=x，CE=y，试写出y关于x的函数关系式，并求当x为何值时，CE=
BC；
（3）猜想PF与EQ的数量关系，并*你的结论．
【回答】
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）*出∠ABP=∠CBQ，由SAS*△BAP≌△BCQ可得结论；
（2）如图1*△APB∽△CEP，列比例式可得y与x的关系式，根据CE=
BC计算CE的长，即y的长，代入关系式解方程可得x的值；
（3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，*△PGB≌△QEB，得EQ=PG，由F、A、G、P四点共圆，
得∠FGP=∠FAP=45°，所以△FPG是等腰直角三角形，可得结论．
如图4，当F在AD的延长线上时，同理可得结论．
【解答】（1）*：如图1，∵线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BQ，
∴BP=BQ，∠PBQ=90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=BC，∠ABC=90°．
∴∠ABC=∠PBQ．
∴∠ABC﹣∠PBC=∠PBQ﹣∠PBC，即∠ABP=∠CBQ．
在△BAP和△BCQ中，
∵
，
∴△BAP≌△BCQ（SAS）．
∴CQ=AP；
（2）解：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=
∠BAD=45°，∠BCA=
∠BCD=45°，
∴∠APB+∠ABP=180°﹣45°=135°，
∵DC=AD=2
，
由勾股定理得：AC=
=4，
∵AP=x，
∴PC=4﹣x，
∵△PBQ是等腰直角三角形，
∴∠BPQ=45°，
∴∠APB+∠CPQ=180°﹣45°=135°，
∴∠CPQ=∠ABP，
∵∠BAC=∠ACB=45°，
∴△APB∽△CEP，
∴
，
∴
，
∴y=
x（4﹣x）=﹣
x（0＜x＜4），
由CE=
BC=
=
，
∴y=﹣
x=
，
x2﹣4x=3=0，
（x﹣3）（x﹣1）=0，
x=3或1，
∴当x=3或1时，CE=
BC；
（3）解：结论：PF=EQ，理由是：
如图3，当F在边AD上时，过P作PG⊥FQ，交AB于G，则∠GPF=90°，
∵∠BPQ=45°，
∴∠GPB=45°，
∴∠GPB=∠PQB=45°，
∵PB=BQ，∠ABP=∠CBQ，
∴△PGB≌△QEB，
∴EQ=PG，
∵∠BAD=90°，
∴F、A、G、P四点共圆，
连接FG，
∴∠FGP=∠FAP=45°，
∴△FPG是等腰直角三角形，
∴PF=PG，
∴PF=EQ．
当F在AD的延长线上时，如图4，同理可得：PF=PG=EQ．
知识点：各地中考
题型：综合题
