已知，正方形ABPD的边长为3，将边DP绕点P顺时针旋转90°至PC，E、F分别为线段DP、CP上两个动点（不...

问题详情：

已知，正方形ABPD的边长为3，将边DP绕点P顺时针旋转90°至PC，E、F分别为线段DP、CP上两个动点（不与D、P、C重合），且DE=CF，连接BE并延长分别交DF、DC于H、G．

（1）①求*：△BPE≌△DPF，②判断BG与DF位置关系并说明理由；

（2）当PE的长度为多少时，四边形DEFG为菱形并说明理由；

（3）连接AH，在点E、F运动的过程中，∠AHB的大小是否发生改变？若改变，请说出是如何变化的；若不改变，请求出∠AHB的度数．

【回答】

【解答】（1）①*：由旋转的*质可知，△DPC是等腰直角三角形，

∵四边形ABPD是正方形，

∴BP=PD=PC，∠BPE=∠DPF=90°，

∵DE=CF，

∴PE=PF， 

在△BPE和△DPF中，

，

∴△BPE≌△DPF；

②∵△BPE≌△DPF，

∴∠EBP=∠FDP，又∠FDP+∠BFH=90°，

∴∠EBP+∠BFH=90°，即BG⊥DF；

（2）当PE=3﹣3时，四边形DEFG为菱形；

理由如下：在正方形ABPD中，BP=PD=3，

∵PE=3﹣3，

∴EF==6﹣3，

DE=PD﹣PE=6﹣3，

∴EF=ED，

∵BG⊥DF，

∴EG垂直平分DF，

∴GD=GF，

∵∠PEF=∠PDC=45°，

∴EF∥DG，

∴∠EFD=∠FDG，

∵DE=EF，

∴∠EFD=∠EDF，

∴∠EDG=∠FDE，

∵BG⊥DF，

∴∠DEG=∠DGE，

∴DE=DG，

∴DE=DG=GF=EF，

∴四边形DEFG是菱形；

（3）∠AHB的大小不变，∠AHB=45°，

*：连接BD，取BD的中点O，连接OA、OH，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD=90°，∠ADB=45°，

∵BG⊥DF，[来源:学科网ZXXK]

∴∠DHB=90°，

则OA=OB=OD=OH=BD，

∴点A、B、H、D在以O为圆心、OA为半径的圆上，

∴∠AHB=∠ADB=45°．

知识点：图形的旋转

题型：综合题