问题：如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转9...

问题详情：

问题：如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为　   　；

探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并*你的结论；

应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD的长．

【回答】

解：（1）BC＝DC+EC，

理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE，

∴BD＝CE，

∴BC＝BD+CD＝EC+CD，

故*为：BC＝DC+EC；

（2）BD2+CD2＝2AD2，

理由如下：连接CE，

由（1）得，△BAD≌△CAE，

∴BD＝CE，∠ACE＝∠B，

∴∠DCE＝90°，

∴CE2+CD2＝ED2，

在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，又AD＝AE，

∴BD2+CD2＝2AD2；

（3）作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，

∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，

即∠BAD＝∠CAE，

在△BAD与△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD＝CE＝9，

∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，

∴∠EDC＝90°，

∴DE＝＝6，

∵∠DAE＝90°，

∴AD＝AE＝DE＝6．

【点评】本题考查的是全等三角形的判定和*质、勾股定理、以及旋转变换的*质，掌握全等三角形的判定定理和*质定理是解题的关键．

知识点：勾股定理

题型：解答题