如图1，在△ABC中，AB＝AC＝20，tanB＝，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作...
问题详情：
如图1，在△ABC中，AB＝AC＝20，tanB＝
，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，*线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交*线DE于点F，连接CF．
（1）求*：△ABD∽△DCE；
（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；
（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．
【回答】
【解析】（1）*：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△BAD∽△DCE．
（2）解：如图2中，作AM⊥BC于M．
在Rt△ABM中，设BM＝4k，则AM＝BM•tanB＝4k×
＝3k，
由勾股定理，得到AB2＝AM2+BM2，
∴202＝（3k）2+（4k）2，
∴k＝4或﹣4（舍弃），
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴BC＝2BM＝2•4k＝32，
∵DE∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE，
∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB，
∴∠BAD＝∠ACB，
∵∠ABD＝∠CBA，
∴△ABD∽△CBA，
∴
＝
，
∴DB＝
＝
＝
，
∵DE∥AB，
∴
＝
，
∴AE＝
＝
＝
．
（3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．
理由：作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．则∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°，
∴四边形AMHN为矩形，
∴∠MAN＝90°，MH＝AN，
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∵AB＝20，tanB＝
∴BM＝CM＝16，
∴BC＝32，
在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM＝
＝
＝12，
∵AN⊥FH，AM⊥BC，
∴∠ANF＝90°＝∠AMD，
∵∠DAF＝90°＝∠MAN，
∴∠NAF＝∠MAD，
∴△AFN∽△ADM，
∴
＝
＝tan∠ADF＝tanB＝
，
∴AN＝
AM＝
×12＝9，
∴CH＝CM﹣MH＝CM﹣AN＝16﹣9＝7，
当DF＝CF时，由点D不与点C重合，可知△DFC为等腰三角形，
∵FH⊥DC，
∴CD＝2CH＝14，
∴BD＝BC﹣CD＝32﹣14＝18，
∴点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF，此时BD＝18．
知识点：相似三角形
题型：解答题
