在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D是斜边AB上一动点（点D与点A、B不重合），连接CD，...
来源：语文精选馆 2.82W
问题详情：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3
，点D是斜边AB上一动点（点D与点A、B不重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接AE，DE．
（1）求△ADE的周长的最小值；
（2）若CD=4，求AE的长度．
【回答】
（1）6+
；（2）3﹣
或3+
【分析】
（1）根据勾股定理得到AB=
AC=6，根据全等三角形的*质得到AE=BD，当DE最小时，△ADE的周长最小，过点C作CF⊥AB于点F，于是得到结论；
（2）当点D在CF的右侧，当点D在CF的左侧，根据勾股定理即可得到结论
【详解】
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3
∴AB=
AC=6，
∵∠ECD=∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE与△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，
∴△ADE的周长=AE+AD+DE=AB+DE，
∴当DE最小时，△ADE的周长最小，
过点C作CF⊥AB于点F，
当CD⊥AB时，CD最短，等于3，此时DE=3
，
∴△ADE的周长的最小值是6+3
；
（2）当点D在CF的右侧，
∵CF=
AB=3，CD=4，
∴DF=
，
∴AE=BD=BF﹣DF=3﹣
；
当点D在CF的左侧，同理可得AE=BD=3+
，
综上所述：AE的长度为3﹣
或3+
．
【点睛】
本题考查旋转的*质，全等三角形的判定与*质，勾股定理，解题的关键是熟练运用旋转的*质以及全等三角形的判定与*质．
知识点：三角形全等的判定
题型：解答题
