（1）观察猜想：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，连接AD，把△ABD绕点A逆时...

问题详情：

（1）观察猜想：

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，连接AD，把△ABD绕点A逆时针旋转90°，点D落在点E处，如图①所示，则线段CE和线段BD的数量关系是　   　，位置关系是　   　．

（2）探究*：

在（1）的条件下，若点D在线段BC的延长线上，请判断（1）中结论是还成立吗？请在图②中画出图形，并*你的判断．

（3）拓展延伸：

如图③，∠BAC≠90°，若AB≠AC，∠ACB=45°，AC=，其他条件不变，过点D作DF⊥AD交CE于点F，请直接写出线段CF长度的最大值．

【回答】

【解答】解：（1）①∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，

∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，

∴△BAD≌△CAE，

∴CE=BD，∠ACE=∠B，

∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，

∴BD⊥CE；

故*为：CE=BD，CE⊥BD．

（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：

如图，∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，

∴AE=AD，∠DAE=90°，

∵AB=AC，∠BAC=90°

∴∠CAE=∠BAD，

∴△ACE≌△ABD，

∴CE=BD，∠ACE=∠B，

∴∠BCE=90°，即CE⊥BD，

∴线段CE，BD之间的位置关系和数量关系分别为：CE=BD，CE⊥BD．

（3）如图3，过A作AM⊥BC于M，EN⊥AM于N，

∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE

∴∠DAE=90°，AD=AE， 

∴∠NAE=∠ADM，

易*得Rt△AMD≌Rt△ENA，

∴NE=AM，

∵∠ACB=45°，

∴△AMC为等腰直角三角形，

∴AM=MC，

∴MC=NE，

∵AM⊥BC，EN⊥AM，

∴NE∥MC，

∴四边形MCEN为平行四边形，

∵∠AMC=90°，

∴四边形MCEN为矩形，

∴∠DCF=90°，

∴Rt△AMD∽Rt△DCF，

∴=，

设DC=x，

∵∠ACB=45°，AC=，

∴AM=CM=1，MD=1﹣x，

∴=，

∴CF=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，

∴当x=时有最大值，CF最大值为．

知识点：相似三角形

题型：解答题