在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AED,点B、...
问题详情:
在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AED,点B、C的对应点分别是E、D.
(1)如图1,当点E恰好在AC上时,求∠CDE的度数;
(2)如图2,若=60°时,点F是边AC中点,求*:四边形BFDE是平行四边形.
【回答】
(1)15°;(2)*见解析.
【分析】
(1)如图1,利用旋转的*质得CA=DA,∠CAD=∠BAC=30°,∠DEA=∠ABC=90°,再根据等腰三角形的*质求出∠ADC,从而计算出∠CDE的度数;
(2)如图2,利用直角三角形斜边上的中线*质得到BF=AC,利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC=AC,则BF=BC,再根据旋转的*质得到∠BAE=∠CAD=60°,AB=AE,AC=AD ,DE=BC,从而得到DE=BF,△ACD和△BAE为等边三角形,接着由△AFD≌△CBA得到DF=BA,然后根据平行四边形的判定方法得到结论.
【详解】
解:(1)如图1,∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△AED,点E恰好在AC上,
∴∠CAD=∠BAC=30°,∠DEA=∠ABC=90°,
∵CA=DA,
∴∠ACD=∠ADC=(180°−30°)=75°,∠ADE=90°-30°=60°,
∴∠CDE=75°−60°=15°;
(2)*:如图2,
∵点F是边AC中点,
∴BF=AC,
∵∠BAC=30°,
∴BC=AC,
∴BF=BC,
∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED,
∴∠BAE=∠CAD=60°,AB=AE,AC=AD,DE=BC,
∴DE=BF,△ACD和△BAE为等边三角形,
∴BE=AB,
∵点F为△ACD的边AC的中点,
∴DF⊥AC,
易*得△AFD≌△CBA,
∴DF=BA,
∴DF=BE,
而BF=DE,
∴四边形BEDF是平行四边形.
【点睛】
本题考查了旋转的*质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了平行四边形的判定.
知识点:三角形全等的判定
题型:解答题