如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．点D是AB中点，点E为边AC上一点，连接CD，DE，以DE...

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如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．点D是AB中点，点E为边AC上一点，连接CD，DE，以DE为边在DE的左侧作等边三角形DEF，连接BF．

（1）△BCD的形状为________；

（2）随着点E位置的变化，∠DBF的度数是否变化？并结合图说明你的理由；

（3）当点F落在边AC上时，若AC=6，请直接写出DE的长．

【回答】

（1）等边三角形（2）解：∠DBF的度数不变，理由如下： ∵∠ACB=90°，点D是AB中点， ∴CD= AB=AD， ∴∠ECD=30°． ∵△BDC为等边三角形， ∴BD=DC，∠BDC=60°．又∵△DEF为等边三角形， ∴DF=DE，∠FDE=60°， ∴∠BDF+∠FDC=∠EDC+∠FDC=60°， ∴∠BDF=∠CDE．在△BDF和△CDE中，， ∴△BDF≌△CDE（SAS）， ∴∠DBF=∠DCE=30°，即∠DBF的度数不变（3）解：过点E作EM⊥AB于点M，如图所示．在Rt△ABC中，∠A=30°，AC=6， ∴AB=2BC，AC= = BC=6， ∴BC=2 ，AB=4 ． ∵△DEF为等边三角形， ∴∠DEF=60°， ∵∠A=30°， ∴∠ADE=30°， ∴DE=AE， ∴AM= AD= × AB= ．在Rt△AME中，∠A=30°，AM= ， ∴AE=2EM，AM= = EM， ∴EM=1，AE=2， ∴DE=2．【考点】全等三角形的判定与*质，等边三角形的*质，含30度角的直角三角形，直角三角形斜边上的中线，勾股定理【解析】【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， ∴AB=2BC，∠CBD=60°． ∵点D是AB中点， ∴BD=BC， ∴△BCD为等边三角形．故*为：等边三角形．【分析】（1）根据三角形的内角和及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BD=BC，∠CBD=60°，从而判断出△BCD为等边三角形；（2）∠DBF的度数不变，理由如下：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及等边对等角得出∠ECD=30°．又由等边三角形的*质得出BD=DC，∠BDC=60°，DF=DE，∠FDE=60°，进而判断出∠BDF=∠CDE，再由SAS判断出△BDF≌△CDE，根据全等三角形的*质得出得出∠DBF=∠DCE=30°；（3）过点E作EM⊥AB于点M，在Rt△ABC中，由∠A=30°得出AB=2BC，进而利用勾股定理得出AC的长度，由等边三角形的*质及等角对等边得出DE=AE，进而知道AM的长度，在Rt△AME中由∠A=30°得出AE=2EM，进而利用勾股定理得出AM的长度,从而得出结论。