如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4．若动点D在线段AC上（不与点A、C重合），过点D...
来源：语文精选馆 1.92W
问题详情：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4
．若动点D在线段AC上（不与点A、C重合），过点D作DE⊥AC交AB边于点E．点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE=_______时，⊙C与直线AB相切．
【回答】
或
【解析】
求出AB上的高，CH，即可得出圆的半径，*△ADE∽△ACB得出比例式，代入求出即可．
【详解】
过C作CH⊥AB于H，
∵∠ACB=90°，BC=2
，AB=4
，AC=6，
∴由三角形面积公式得：
BC•AC=
AB•CH，
CH=3，
分为两种情况：①如图，
∵CF=CH=3，
∴AF=6-3=3，
∵A和F关于D对称，
∴DF=AD=
，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴
，
∴
，
DE=
；
②如图2，
∵CF=CH=3，
∴AF=6+3=9，
∵A和F关于D对称，
∴DF=AD=4.5，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴
，
∴
，
DE=
.
【点睛】
本题考查了三角形的中位线，含30度角的直角三角形*质，相似三角形的*质和判定等知识点的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．
知识点：点和圆、直线和圆的位置关系
题型：填空题
