如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD，并且始终保...

问题详情：

如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD，并且始终保持AE＝AD，连接CE．

（1）求*：△ABD≌△ACE；

（2）若AF平分∠DAE交BC于F，探究线段BD，DF，FC之间的数量关系，并*；

（3）在（2）的条件下，若BD＝3，CF＝4，求AD的长．

【回答】

（1）*：∵AE⊥AD，

∴∠DAE＝∠DAC+∠2＝90°，

又∵∠BAC＝∠DAC+∠1＝90°，

∴∠1＝∠2，

在△ABD和△ACE中

，

∴△ABD≌△ACE．

（2）解：结论：BD2+FC2＝DF2．理由如下：

连接FE，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠B＝∠3＝45°

由（1）知△ABD≌△ACE

∴∠4＝∠B＝45°，BD＝CE

∴∠ECF＝∠3+∠4＝90°，

∴CE2+CF2＝EF2，

∴BD2+FC2＝EF2，

∵AF平分∠DAE，

∴∠DAF＝∠EAF，

在△DAF和△EAF中

，

∴△DAF≌△EAF

∴DF＝EF

∴BD2+FC2＝DF2．

（3）解：过点A作AG⊥BC于G，

由（2）知DF2＝BD2+FC2＝32+42＝25

∴DF＝5，

∴BC＝BD+DF+FC＝3+5+4＝12，

∵AB＝AC，AG⊥BC，

∴BG＝AG＝BC＝6，

∴DG＝BG﹣BD＝6﹣3＝3，

∴在Rt△ADG中，AD＝＝＝3．

知识点：勾股定理

题型：解答题