如图1，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，点P为DC上一点，且AP＝AB，分别过点A和点C作直线BP的...

问题详情：

如图1，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，点P为DC上一点，且AP＝AB，分别过点A和点C作直线BP的垂线，垂足为点E和点F．

（1）*：△ABE∽△BCF；

（2）若＝，求的值；

（3）如图2，若AB＝BC，设∠DAP的平分线AG交直线BP于G．当CF＝1，＝时，求线段AG的长．

【回答】

解析 （1）由余角的*质可得∠ABE＝∠BCF，即可*△ABE∽△BCF；

（2）由相似三角形的*质可得＝＝，由等腰三角形的*质可得BP＝2BE，即可求的值；

（3）由题意可*△DPH∽△CPB，可得＝＝，可求AE＝，由等腰三角形的*质可得AE平分∠BAP，可*∠EAG＝∠BAH＝45°，可得△AEG是等腰直角三角形，即可求AG的长．

*：（1）∵AB⊥BC，∴∠ABE+∠FBC＝90°

又∵CF⊥BF，∴∠BCF+∠FBC＝90°∴∠ABE＝∠BCF

又∵∠AEB＝∠BFC＝90°，∴△ABE∽△BCF

（2）∵△ABE∽△BCF，∴＝＝

又∵AP＝AB，AE⊥BF，∴BP＝2BE∴＝＝

（3）如图，延长AD与BG的延长线交于H点

∵AD∥BC，

∴△DPH∽△CPB

∴＝＝

∵AB＝BC，由（1）可知△ABE≌△BCF

∴CF＝BE＝EP＝1，

∴BP＝2，

代入上式可得HP＝，HE＝1+＝

∵△ABE∽△HAE，

∴＝，＝，

∴AE＝

∵AP＝AB，AE⊥BF，

∴AE平分∠BAP

又∵AG平分∠DAP，

∴∠EAG＝∠BAH＝45°，

∴△AEG是等腰直角三角形．

∴AG＝AE＝3

知识点：相似三角形

题型：解答题