如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AD＝3cm，BC＝7cm，∠B＝60°，P为BC边上一点（不...

问题详情：

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AD＝3cm，BC＝7cm，∠B＝60°，P为BC边上一点（不与B，C重合），连接AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE＝∠B．

（1）求*：△ABP∽△PCE；

（2）求AB的长；

（3）在边BC上是否存在一点P，使得DE：EC＝5：3？如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由．

【回答】

（1）先利用平角的定义和三角形的内角和定理判断出∠BAP＝∠CPE，再判断出四边形ABCD是等腰梯形，进而得出∠B＝∠C，即可得出结论；

（2）利用等腰梯形的*质求出BF，进而求出AB，即可得出结论；

（3）先求出CD＝4，进而求出CE，最后借助（1）的结论得出比例式建立方程求解，即可得出结论．

解：（1）在△ABP中，∠B+∠BAP+∠APB＝180°

∵∠APE＝∠B，∴∠APE+∠BAP+∠APB＝180°，

∵∠APB+∠APE+∠CPE＝180°，∴∠BAP＝∠CPE，

∵AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∴四边形ABCD是梯形，

∵AB＝DC，∴∠B＝∠C，∴△ABP∽△PCE；

（2）如图，过点A作AF⊥BC于F，

在梯形ABCD中，AB＝CD，∴BF＝（BC﹣AD）＝2，

在Rt△ABF中，∠B＝60°，∴∠BAF＝30°，∴AB＝2BF＝4；

（3）由（2）知，AB＝4，∵CD＝AB，∴CD＝4，

∵DE：EC＝5：3，∴CE＝CD＝×4＝，∵BC＝7，∴CP＝BC﹣BP＝7﹣BP，

由（1）知，△ABP∽△PCE，∴，∴，∴BP2﹣7BP+6＝0，

∴BP＝1或BP＝6，∵点P在BC上，∴0＜BP＜7，

∴BP＝1或BP＝6．

知识点：（补充）梯形

题型：解答题