如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，M为CD边的中点，沿BM将△CBM折起使得平面...

问题详情：

如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，M为CD边的中点，沿BM将△CBM折起使得平面BMC⊥平面ABMD.

(Ⅰ)求*：平面AMC⊥平面BMC；

(Ⅱ)求四棱锥C－ADMB的体积；

(Ⅲ)求折后直线AB与平面ADC所成的角的正弦值.

【回答】

【解析】(Ⅰ)∵ 平面BMC⊥平面ABMD，平面BMC∩平面ABMD＝MB，

由题易知AM⊥MB，且AM平面ABMD，

∴ AM⊥平面BMC，

而AM平面AMC，

∴平面AMC⊥平面BMC. 3分

(Ⅱ)由已知有△CMB是正三角形，取MB的中点O， 则CO⊥MB.

又平面BMC⊥平面ABMD于MB，

则CO⊥平面ABMD，且CO＝，5分

易求得S梯形ABMD＝，

∴VC－ABDM＝××＝.7分

(Ⅲ)作Mz∥CO，由(Ⅰ)知可如图建系，

设折后直线AB与平面ADC所成的角为θ，则sin θ＝＝.12分

知识点：空间中的向量与立体几何

题型：解答题