如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD=60°，沿对角线BD将△ABD折起，使点A，C之间的距离为，若P，...

问题详情：

如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD=60°，沿对角线BD将△ABD折起，使点A，C之间的距离为，若P，Q分别为线段BD，CA上的动点．

(1) 求线段PQ长度的最小值;

(2) 当线段PQ长度最小时，求直线PQ与平面ACD所成角的正弦值．

【回答】

取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，CE⊥BD，AE=CE=．

因为AC=，所以AE2+CE2=AC2，所以三角形ACE为直角三角形，所以AE⊥CE，

所以AE⊥平面BCD． (2分)

以EB，EC，EA分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，C(0，，0)，A(0，0，)．    (3分)

(1) 设P(a，0，0)，=λ=(0，-λ，λ)，

则=+=(-a，，0)+(0，-λ，λ)=(-a，-λ，λ)，

||=

=

= (5分)

当a=0，λ=时，PQ长度最小值为．   (6分)

(2) 由(1)知=，设平面ACD的一个法向量为n=(x，y，z)．

由n⊥DA，n⊥DC，得 化简，得取n=(，-1，-1)．    (8分)

设PQ与平面ACD所成角为θ，

则sin θ=|cos<，n>|==，

故直线PQ与平面ACD所成角的正弦值为．    

知识点：空间中的向量与立体几何

题型：解答题