如图，△BCD是等边三角形AB＝AD，∠BAD＝90°，将△BCD沿BD折叠到△BC′D的位置，使得AD⊥C′...
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问题详情：
如图，△BCD是等边三角形AB＝AD，∠BAD＝90°，将△BCD沿BD折叠到△BC′D的位置，使得AD⊥C′B.
(1)求*：AD⊥AC′；
(2)若M，N分别是BD，C′B的中点，求二面角N－AM－B的余弦值．
【回答】
(1)∵∠BAD＝90°，∴AD⊥AB，
又∵C′B⊥AD，且AB∩C′B＝B，
∴AD⊥平面C′AB，
∵AC′⊂平面C′AB，
∴AD⊥AC′；
(2)∵△BCD是等边三角形，AB＝AD，∠BAD＝90°，
不妨设AB＝1，则BC＝CD＝BD＝
，
以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AC′所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C′(0,0,1)，
∵点M、N分别为BD，C′B的中点，∴M
，N
，
∴
＝
，
＝
，
设平面AMN的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则
即
令x＝1，则y＝z＝－1，∴m＝(1，－1，－1)，
平面ABM的一个法向量为n＝(0,0,1)，
∴cos〈m，n〉＝
＝
＝－
，
∴二面角N－AM－B的余弦值为
.
知识点：点 直线 平面之间的位置
题型：解答题
