在△ABC中,AE⊥CD且AE=CD,∠CAE+2∠BAE=90°.(1)如图1,若△ACE为等边三角形,CD...
问题详情:
在△ABC中,AE⊥CD且AE=CD,∠CAE+2∠BAE=90°.
(1)如图1,若△ACE为等边三角形,CD=2,求AB的长;
(2)如图2,作EG⊥AB,求*:AD=BE;
(3)如图3,作EG⊥AB,当点D与点G重合时,连接BF,请直接写出BF与EC之间的数量关系.
【回答】
(1)AB=3;(2)*见解析;(3).
【解析】
(1)求出∠BAE=15°,∠CBA=45°,过点A作AN⊥BC于点N,则△ABN为等腰直角三角形,求出AN的长,则AB的长可求出;
(2)过点C作CM⊥AB于点M,设∠EAB=α,得出AM=DM=AD,AC=CD=AE,*△ACM≌△EAG(AAS),得出EG=AM,*出△EBG为等腰直角三角形,可得出BE=EG=AM=AD.则结论得*.
(3)过点F作FH⊥AB于点H,过点C作CM⊥AB于点M,设BD=a,由(2)可知DE=a,AD=2a,AM=DM=a,*出BE=CE=a,求出BF=a.则可得出*.
【详解】
解:(1)∵△ACE为等边三角形,
∴∠CAE=∠ACB=∠CEA=60°,
∵∠CAE+2∠BAE=90°,
∴∠BAE=15°,
∴∠CBA=∠CEA﹣∠BAE=60°﹣15°=45°,
如图,过点A作AN⊥BC于点N,
∴△ABN为等腰直角三角形,
在等边△ACE中,AN=sin60°•AE==3,
∴AB=AN=3.
(2)*:如图,过点C作CM⊥AB于点M,设∠EAB=α,
∵∠CAE+2∠BAE=90°,
∴∠CAE=90°﹣2α,
∵AE⊥CD,
∴∠ACD=2α,
∴∠CAB=90°﹣2α+α=90°﹣α,
∴∠ACM=α,
∴CM平分∠ACD,
∴AM=DM=AD,AC=CD=AE,
在△ACM和△EAG中,
,
∴△ACM≌△EAG(AAS),
∴EG=AM,
∴AD=2AM=2EG,
∵AC=AE,∠CAE=90°﹣2α,
∴∠CEA=45°+α,
又∵∠CEA=∠B+∠EAG,
∴∠B=45°,
∵EG⊥AB,
∴△EBG为等腰直角三角形,
∴BE=EG=AM=AD.
∴AD=BE.
(3)如图,BF与EC之间的数量关系为.
过点F作FH⊥AB于点H,过点C作CM⊥AB于点M,
设BD=a,由(2)可知DE=a,AD=2a,AM=DM=a,
∵DE∥CM,BD=DM,
∴BE=CE=a,
∵DE=a,AD=2a,∠ADE=90°,
∴AE==a,
∵CD⊥AE,DE⊥AB,
∴∠EFD=∠ADE=90°
∴∠EDF=∠DAE,
∴△DEF∽△AED,
∴,
∴,
∴EF=a,
∴AF=a﹣a=a,
∴,
∴.
∵FH∥DE,
∴△AFH∽△AED,
∴,
∴FH=a,
∴DH=2a﹣a=a,
∴BH=a+a,
∴BF==a.
∴=.
即BF与EC之间的数量关系为.
【点睛】
本题是图形综合题,涉及特殊三角形的*质,全等三角形的*质和判定,相似三角形的*质和判定,锐角三角函数的运用,解题的关键是针对每一小问的条件构造合适的辅助线利用图形的*质和判定去*.
知识点:三角形全等的判定
题型:解答题