如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点...
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问题详情：
如图，已知△ABC是面积为
的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于_____（结果保留根号）．
【回答】
【解析】
【分析】
如图，过点F作FH⊥AE交AE于H，过点C作CM⊥AB交AB于M，根据等边三角形的*质可求出AB的长，根据相似三角形的*质可得△ADE是等边三角形，可得出AE的长，根据角的和差关系可得∠EAF=∠BAD=45°，设AH＝HF＝x，利用∠EFH的正确可用x表示出EH的长，根据AE=EH+AH列方程可求出x的值，根据三角形面积公式即可得*．
【详解】
如图，过点F作FH⊥AE交AE于H，过点C作CM⊥AB交AB于M，
∵△ABC是面积为
的等边三角形，CM⊥AB，
∴
×AB×CM＝
，∠BCM＝30°，BM=
AB，BC=AB，
∴CM=
=
，
∴
×AB×
＝
，
解得：AB＝2，（负值舍去）
∵△ABC∽△ADE，△ABC是等边三角形，
∴△ADE是等边三角形，∠CAB=∠EAD=60°，∠E=60°，
∴∠EAF+∠FAD=∠FAD+BAD=60°，
∵∠BAD=45°，
∴∠EAF＝∠BAD＝45°，
∵FH⊥AE，
∴∠AFH＝45°，∠EFH＝30°，
∴AH＝HF，
设AH＝HF＝x，则EH＝xtan30°＝
x．
∵AB=2AD，AD=AE，
∴AE＝
AB＝1，
∴x+
x＝1，
解得x＝
．
∴S△AEF＝
×1×
＝
．
故*为：
．
【点睛】
本题考查了相似三角形的*质，等边三角形的*质，锐角三角函数，根据相似三角形的*质得出△ADE是等边三角形、熟练掌握等边三角形的*质并熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
知识点：等腰三角形
题型：填空题
