在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,设锐角∠AOB=α,将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′...
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在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,设锐角∠AOB=α,将△DOC
按逆时针方向旋转得到△D′OC′(0°<旋转角<90°)连接AC′、BD′,AC′与BD′相交于点M.
(1)当四边形ABCD为矩形时,如图1.求*:△AOC′≌△BOD′.
(2)当四边形ABCD为平行四边形时,设AC=kBD,如图2.
①猜想此时△AOC′与△BOD′有何关系,*你的猜想;
②探究AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系,并给予*.
【回答】
(1)*:在矩形ABCD中,
∵AC=BD,OA=OC=AC,OB=OD=BD,
∴OA=OC=OB=OD,
∵△D′OC′由△DOC旋转得到,
∴OD=OD′,OC=OC′,∠D′OD=∠C′OC,
∴OB=OD′=OA=OC′,
∴180°-∠D′OD=180°-∠C′OC,
即∠BOD′=∠AOC′,∴△BOD′≌△AOC′
(2)①猜想:△BOD′∽△AOC′.
*:在平行四边形ABCD中,OB=OD,OA=OC,
∵△D′OC′由△DOC旋转得到,
∴OD=OD′,OC=OC′,∠D′OD=∠C′OC,
∴OB:OA=OD′:OC′,180°-∠D′OD=180°-∠C′OC,
∴∠BOD′=∠AOC′,∴△BOD′∽△AOC′
②结论:AC′=kBD′,∠AMB=α
*:∵△BOD′∽△AOC′,∴,即AC′=kBD′
设BD′与AC相交于点N,∵△BOD′∽△AOC′,∴∠OBM=∠OAM,
在△ANM与△BNO中,又∵∠ANM=∠BNO,
∴180°-∠OAC′-∠ANM=180°-∠OBD′-∠BNO,
即∠AMB=∠AOB=α.
知识点:特殊的平行四边形
题型:解答题