如图,AD是△ABC的角平分线,延长AD交△ABC的外接圆O于点E,过C、D、E三点的圆O1交AC的延长线于点...

问题详情：

如图,AD是△ABC的角平分线, 延长AD交△ABC的外接圆O于点E,过C、D、E三点的圆O1交AC的延长线于点F，连结EF、DF．

(1)求*：△AEF∽△FED；

(2) 若AD=6，DE=3, 求EF的长；

(3) 若DF∥BE, 试判断△ABE的形状，并说明理由．

【回答】

解（1）*：连结两圆的相交弦CE

在圆O1中，∠EFD=∠DCE，

在圆O中，∠BAE=∠DCE，

∴∠EFD=∠BAE，

又因为AE是∠BAC角平分线，得∠BAE=∠CAE，

∴∠CAE=∠EFD，

∵∠AEF=∠FED，

∴△AEF∽△FED．

（2）∵△AEF∽△FED，

∴ ，             

∴EF2=AE・DE=(AD+DE) ・DE=27，

∴．

（3）*：根据同弧上的圆周角相等，

得到：∠ABC=∠AEC，∠CBE=∠CAE，

∴∠ABE=∠AEC+∠CAE，

∵∠AEC+∠CAE+∠ACE=1800=180°，

∴∠ABE+∠ACE=1800，

又∠FCE+∠ACE=1800，∴∠FCE=∠ABE ．

∵DF//BE, ∠FDE=∠AEB，，

又∵∠FCE=∠EDF，∴∠AEB =∠ABE ，

∴△ABE为等腰三角形．

知识点：相似三角形

题型：综合题