如图1,O经过等边△ABC的顶点A,C(圆心O在△ABC内),分别与AB,CB的延长线交于点D,E,连结DE,...
问题详情:
如图1, O经过等边△ABC的顶点A,C(圆心O在△ABC内),分别与AB,CB的延长线交于点D,E,连结DE,BF⊥EC交AE于点F.
(1)求*:BD=BE.
(2)当AF:EF=3:2,AC=6时,求AE的长。
(3)设 =x,tan∠DAE=y.
①求y关于x的函数表达式;
②如图2,连结OF,OB,若△AEC的面积是△OFB面积的10倍,求y的值
【回答】
(1)*:∵△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=∠C=60 .
∵∠DEB=∠BAC=60 ,∠D=∠C=60
∴∠DEB=∠D.
∴BD=BE (2)解:如图,过点A作AG⊥EC于点G.
∵△ABC为等边三角形,AC=6,
∴BG= BC= AC=3.
∴在Rt△ABG中,AG= BG=3 .
∵BF⊥EC,
∴BF∥AG.
∵AF:EF=3:2,
∴BE= BG=2.
∴EG=BE+BG=3+2=5.
∴在Rt△AEG中,AE= . (3)解:①如图,过点E作EH⊥AD于点H.
∵∠EBD=∠ABC=60°,
∴在Rt△BEH中, =sin60 = .
∴
∴
∵BG=xBE.
∴AB=BC=2BG-2xBE.
∴AH-AB+BH=2xBE+ BE=(2x+ )BE.
∴在Rt△AHE中,tan =
y=
②如图,过点O作OM⊥EC于点M.
设BE=a.
∵
∴CG=BG=xBE=x.
∴EC=CG+BG+BE=a+2ax.
∴AM= EC= a+ax.
∴BM=EM-BE=ax- a
∵BF∥AG
∴△EBF∽△EGA.
∴
∵AG= BG= ax
∴BF= AG=
∴△OFB的面积=
∴△AEC的面积=
∵△AEC的面积是△OFB的面积10倍
∴
∴
解得
∴
【考点】圆的综合题
【解析】【分析】(1)根据等边三角形的三个内角都等于60°得出∠BAC=∠C=60°,根据同弧所对的圆周角相等得出∠DEB=∠BAC=60°,∠D=∠C=60°,故∠DEB=∠D,根据等角对等边得出BD=BE; (2)如图,过点A作AG⊥EC于点G,根据等边三角形的三线合一得出BG=3,在Rt△ABG中,根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AG的长,根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出BF∥AG,根据平行线分线段成比例定理得出∶EF=BG∶EB,根据比例式即可算出EG的长,最后在Rt△AEG中,根据勾股定理即可算出AE的长; (3)①如图,过点E作EH⊥AD于点H,在Rt△BEH中,根据锐角三角函数的定义,及特殊锐角三角函数值得出EH= ,由于BG∶EB=AF∶EF=x,故BG=xBE,AB=2xBE,最后根据AH=AB+BH表示出AH,在Rt△AHE中,根据正切函数的定义,由tan∠EAO=EH∶AH,即可建立出函数关系式;②如图,过点O作OM⊥EC于点M,设BE为a,根据BG∶EB=AF∶EF=x,得出CG=BG=xBE=ax,故EC=CG+BG+BE=a+2ax,根据垂径定理得出EM的长,进而根据线段的和差表示出BM的长,根据平行于三角形一边的直线,截其它两边,所截的三角形与原三角形相似得出△EBF∽△EGA,根据相似三角形的对应边成比例表示出BF的长,根据三角形的面积计算公式分别表示出△OFB的面积及△AEC的面积,然后根据△AEC的面积是△OFB的面积的10倍建立方程,求解算出x的值,进而即可得出*。
知识点:各地中考
题型:解答题