如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连AI并延长交BC和⊙O于D、E两点.（1）求*：EB＝EI；（...
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如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连AI并延长交BC和⊙O于D、E两点.
（1）求*：EB＝EI；
（2）若AB＝4，AC＝3，BE＝2，求AI的长.
【回答】
（1）见解析；（2）AI=2.
【解析】
分析：（1）连接IB，只需*∠IBE=∠BIE．根据三角形的外角的*质、三角形的内心是三角形的角平分线的交点,以及圆周角定理的推论即可*.
（2）由（1）可得△BDE∽△ABE，即：DE=
，再由同弦所对的圆周角相等可得：△ADC∽△ABE，即：AB·AC=AD·AE，列出等式求解即可.
详解：（1）连BI.如图，
∵I是△ABC的内心，
∴∠BAE=∠CAE，∠ABI=∠CBI，
∵∠CBE=∠CAE，
∴∠BAE=∠CBE，
∴∠BIE=∠ABI+∠BAE，∠IBE=∠CBI+∠CBE，
∴∠IBE=∠BIE，
∴EB＝EI.
（2）设AI=x，由（1）可知：∠BAE=∠CBE，且∠E=∠E.
∴△BDE∽△ABE,BE2=ED·EA，即： DE=
.
又∵∠E=∠C(同弦的圆周角相等)，∠BAE=∠CAE.
∴△ADC∽△ABE,AB·AC=AD·AE，
4×3=（x+2）（
）,
解得x=2，即AI=2.
点睛：本题考查了三角形的外角的*质、三角形的内心、圆周角定理、相似三角形.
知识点：与三角形有关的角
题型：解答题
