如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则sin∠EC...
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问题详情：
如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则sin∠ECB为（ ）
A．
B．
C．
D．
【回答】
B【考点】垂径定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义．
【分析】根据垂径定理得到AC=BC=
AB=4，设AO=x，则OC=OD﹣CD=x﹣2，在Rt△ACO中根据勾股定理得到x2=42+（x﹣2）2，解得x=5，则AE=10，OC=3，再由AE是直径，根据圆周角定理得到∠ABE=90°，利用OC是△ABE的中位线得到BE=2OC=6，然后在Rt△CBE中利用勾股定理可计算出CE，由三角函数的定义求出sin∠ECB即可．
【解答】解：连结BE，如图，
∵OD⊥AB，
∴AC=BC=
AB=
×8=4，
设AO=x，则OC=OD﹣CD=x﹣2，
在Rt△ACO中，∵AO2=AC2+OC2，
∴x2=42+（x﹣2）2，
解得：x=5，
∴AE=10，OC=3，
∵AE是直径，
∴∠ABE=90°，
∵OC是△ABE的中位线，
∴BE=2OC=6，
在Rt△CBE中，CE=
=
=2
，
∴sin∠ECB=
=
=
．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理、圆周角定理、三角函数；由勾股定理求出半径是解决问题的突破口．
知识点：圆的有关*质
题型：选择题
