如图，⊙O中，AB是⊙O的直径，G为弦AE的中点，连接OG并延长交⊙O于点D，连接BD交AE于点F，延长AE至...

问题详情：

如图，⊙O中，AB是⊙O的直径，G为弦AE的中点，连接OG并延长交⊙O于点D，连接BD交AE于点F，延长AE至点C，使得FC=BC，连接BC．

(1)求*：BC是⊙O的切线；

(2)⊙O的半径为5，tanA=，求FD的长．

【回答】

（1）*见解析（2）

【解析】

（1）由点G是AE的中点，根据垂径定理可知OD⊥AE，由等腰三角形的*质可得∠CBF=∠DFG，∠D=∠OBD，从而∠OBD+∠CBF=90°，从而可*结论；

（2）连接AD，解Rt△OAG可求出OG=3，AG=4，进而可求出DG的长，再*△DAG∽△FDG，由相似三角形的*质求出FG的长，再由勾股定理即可求出FD的长.

【详解】

（1）∵点G是AE的中点，

∴OD⊥AE，

∵FC=BC，

∴∠CBF=∠CFB，

∵∠CFB=∠DFG，

∴∠CBF=∠DFG

∵OB=OD，

∴∠D=∠OBD，

∵∠D+∠DFG=90°，

∴∠OBD+∠CBF=90°

即∠ABC=90°

∵OB是⊙O的半径，

∴BC是⊙O的切线；

（2）连接AD，

∵OA=5，tanA=，

∴OG=3，AG=4，

∴DG=OD﹣OG=2，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADF=90°，

∵∠DAG+∠ADG=90°，∠ADG+∠FDG=90°

∴∠DAG=∠FDG，

∴△DAG∽△FDG，

∴，

∴DG2=AG•FG，

∴4=4FG，

∴FG=1

∴由勾股定理可知：FD=.

【点睛】

本题考查了垂径定理，等腰三角形的*质，切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定与*质，勾股定理等知识，求出∠CBF=∠DFG，∠D=∠OBD是解（1）的关键，**△DAG∽△FDG是解（2）的关键.

知识点：圆的有关*质

题型：解答题