椭圆E的中心在原点O，焦点在轴上，其离心率,过点C（－1,0）的直线与椭圆E相交于A、B两点，且满足点C分向量...

问题详情：

椭圆E的中心在原点O，焦点在轴上，其离心率, 过点C（－1,0）的直线与椭圆E相交于A、B两点，且满足点C分向量的比为2.

（1）用直线的斜率k( k≠0 ) 表示△OAB的面积；（2）当△OAB的面积最大时，求椭圆E的方程。

【回答】

解：（1）设椭圆E的方程为( a＞b＞0 )，由e =

∴a2=3b2   故椭圆方程x2 + 3y2 = 3b2

设A(x1,y1)、B(x2,y2),由于点C（－1，0）分向量的比为2，

由消去y整理并化简得    (3k2+1)x2+6k2x+3k2－3b2=0

由直线l与椭圆E相交于A（x1,y1）, B(x2,y2)两点得：

而S△OAB  ⑤

由①③得:x2+1=－，代入⑤得：S△OAB  =

（2）因S△OAB=,

当且仅当S△OAB取得最大值

此时 x1 + x2 =－1, 又∵  =－1    ∴x1=1,x2 =－2

将x1,x2及k2 = 代入④得3b2 = 5 ∴椭圆方程x2 + 3y2 = 5

知识点：高考试题

题型：综合题