如图椭圆C的方程为，A是椭圆C的短轴左顶点，过A点作斜率为﹣1的直线交椭圆于B点，点P（1，0），且BP∥y轴...

问题详情：

如图椭圆C的方程为，A是椭圆C的短轴左顶点，过A点作斜率为﹣1的直线交椭圆于B点，点P（1，0），且BP∥y轴，△APB的面积为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）在直线AB上求一点M，使得以椭圆C的焦点为焦点，且过M的双曲线E的实轴最长，并求此双曲线E的方程．

【回答】

解答： 解：（1），又∠PAB=45°，AP=PB，故AP=BP=3．

∵P（1，0），A（﹣2，0），B（1，﹣3）

∴b=2，将B（1，﹣3）代入椭圆得：得a2=12，

所求椭圆方程为．

（2）设椭圆C的焦点为F1，F2，

则易知F1（0，﹣）F2（0，），

直线AB的方程为：x+y+2=0，因为M在双曲线E上，要双曲线E的实轴最大，只须||MF1|﹣|MF2||最大，设F1（0，﹣）关于直线AB的对称点为F1'（﹣2，﹣2），则直线F2F1′与直线的交点为所求M，

因为F2F1′的方程为：，联立得M（1，﹣3）

又2a′=||MF1|﹣|MF2||=||MF1'|﹣|MF2||≤|F2F1'|

==2，故，

故所求双曲线方程为：

知识点：常用逻辑用语

题型：解答题