如图，点，，分别为椭圆的左、右顶点和右焦点，过点的直线（异于轴）交椭圆于点，．（1）若，点与椭圆左准线的距离为...
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问题详情：
如图，点
，
，
分别为椭圆
的左、右顶点和右焦点，过点
的直线
（异于
轴）交椭圆
于点
，
．
（1）若
，点
与椭圆
左准线的距离为
，求椭圆
的方程；
（2）已知直线
的斜率是直线
斜率的
倍．
① 求椭圆的离心率；
② 若椭圆的焦距为
，求△AMN面积的最大值．
【回答】
【解】（1）
，点
与椭圆
左准线的距离为5，
…… 2分
解得
椭圆
的方程为
． …… 4分
（2）①法一：显然
，
，
，设
，
，
则
点
在椭圆上，
，
， …… 6分
设直线
，
与椭圆
联立方程组消去
得：
，其两根为
，
，
…… 8分
，
将代入上式化简得：
…… 10分
又
由
得：
，
，即
，解得
或
，
又
，
，即椭圆
的离心率为
． …… 12分
法二：显然，，，
，
设直线
的方程为
，直线
的方程为
，
由
得
，
注意到其一根为
，另一根为
，
，即
． …… 6分
同理由
得
． …… 8分
由，
，三点共线得：
，
， …… 10分
化简得：
，
，
，即椭圆
的离心率为
． …… 12分
②由①
，又椭圆C的焦距为2，
，
，
，
由①方法一得
面积
…… 14分
令
，则
，
，
在
为减函数，
，即
时，
，即
面积的最大值为
． ……
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
