已知椭圆C:的离心率为,且过点A(2,1).若P,Q是椭圆C上的两个动点,且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴....
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问题详情:
已知椭圆C:的离心率为,且过点A(2,1).若P,Q是椭圆C上的两个动点,且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴.
(1)求椭圆的方程
(2)试判断直线PQ的斜率是否为定值?若是,求出该值;若不是,请说明理由.
【回答】
解:(1)因为椭圆C的离心率为,且过点A(2,1),
所以,解得 所以椭圆C的方程为--------6分
(2)因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴,所以PA与AQ所在的直线关于直线x=2对称.
设直线PA的斜率为k,则直线AQ的斜率为-k.
所以直线PA的方程为y-1=k(x-2),直线AQ的方程为y-1=-k(x-2).
设点,由
得①
因为点A(2,1)在椭圆C上,所以x=2是方程①的一个根,
则,所以同理
所以又,
所以直线PQ的斜率,
所以直线PQ的斜率为定值,该值为.---------16分
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题