已知椭圆的左、右焦点分别为,,直线交椭圆于,两点,的周长为16,的周长为12.(1)求椭圆的标准方程与离心率;...
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已知椭圆的左、右焦点分别为,,直线交椭圆于,两点,的周长为16,的周长为12.
(1)求椭圆的标准方程与离心率;
(2)若直线与椭圆交于两点,且是线段的中点,求直线的一般方程.
【回答】
(1) 椭圆E的标准方程为,离心率 (2)
【解析】试题分析:(1)由直线交椭圆于, 两点, 的周长为16, 的周长为12,可得, ,再结合,即可求出, , 的值,从而求出椭圆的标准方程与离心率;(2)由(1)知,易知直线的斜率存在,设为,设,利用点差法,即可求出,从而求出直线的一般方程.
试题解析:(1)由题知,解得
∴椭圆E的标准方程为,离心率.
(2)由(1)知,
易知直线的斜率存在,设为,设,则
,
∴,
又是线段CD的中点
∴
,
故直线的方程为,化为一般形式即: .
点睛:当遇到直线与椭圆的相交弦中点问题时可以运用点差法,解得直线斜率与中点坐标之间的数量关系,从而可以求出直线方程.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题