已知椭圆的离心率是,其左、右顶点分别为、,为短轴的一个端点,的面积为.(1)求椭圆的方程;(2)直线与轴交于,...
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问题详情:
已知椭圆的离心率是,其左、右顶点分别为、,为短轴的一个端点,的面积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线与轴交于,是椭圆上异于、的动点,直线、分别交直线于、两点,求*:为定值.
【回答】
考点:
直线与圆锥曲线的综合问题..
专题:
圆锥曲线中的最值与范围问题.
分析:
(1)根据椭圆离心率是,其左、右顶点分别为A1,A2,B为短轴的端点,△A1BA2的面积为2,建立方程组,可求椭圆方程.
(2)A1(﹣2,0),A2(2,0).设P(x0,y0),直线A1P的方程为y=(x+2),令x=2,得|DE|=,同理|DF|=,由此能求出|DE|•|DF|为定值1.
解答:
(1)解:由已知,可得,
解得a=2,b=.
故所求椭圆方程为.
(2)由题意可得:A1(﹣2,0),A2(2,0).设P(x0,y0),
由题意可得:﹣2<x0<2,
∴直线A1P的方程为y=(x+2),令x=2,
则y=,即|DE|=,
同理:直线BP的方程为y=(x﹣2),令x=2,
则y=,即|DF|=,
所以|DE|•|DF|=×==,
y02=4﹣x02,代入上式,得|DE|•|DF|=1,
故|DE|•|DF|为定值1.
点评:
本题考查椭圆方程的求法,考查|DE|•|DE|恒为定值的*,解题时要认真审题,注意函数与方程思想的合理运用.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题