设函数().(Ⅰ)若在处取得极值,求实数的值,并求此时曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)若在上为减函数,求实数的取值...
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设函数().
(Ⅰ)若在处取得极值,求实数的值,并求此时曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)若在上为减函数,求实数的取值范围.
【回答】
.解:(1)对f(x)求导得
f′(x)==.
因为f(x)在x=0处取得极值,所以f′(0)=0,即a=0.
当a=0时,f(x)=,f′(x)=,由f′(x)>0,0<x<2
f′(x)<0有x<0或x>2,故 a=0时在处取得极值
f(1)=,f′(1)=,
从而f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为
y-=(x-1),化简得3x-ey=0. …… 6分
(2)由(1)知f′(x)=,
令g(x)=-3x2+(6-a)x+a,
由g(x)=0,
解得x1=,x2=.
当x<x1时,g(x)<0,即f′(x)<0,故f(x)为减函数;
当x1<x<x2时,g(x)>0,即f′(x)>0,故f(x)为增函数;
当x>x2时,g(x)<0,即f′(x)<0,故f(x)为减函数.
由f(x)在[3,+∞)上为减函数,
知x2=≤3,解得a≥-.
故a的取值范围为. …… 12分
知识点:导数及其应用
题型:解答题