设函数=[].(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,)处的切线与轴平行,求a;(Ⅱ)若在x=2处取得极小值,求a的...
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问题详情:
设函数=[].
(Ⅰ)若曲线y= f(x)在点(1,)处的切线与轴平行,求a;
(Ⅱ)若在x=2处取得极小值,求a的取值范围.
【回答】
解:(Ⅰ)因为=[],
所以f ′(x)=[2ax–(4a+1)]ex+[ax2–(4a+1)x+4a+3]ex(x∈R)
=[ax2–(2a+1)x+2]ex.
f ′(1)=(1–a)e.
由题设知f ′(1)=0,即(1–a)e=0,解得a=1.
此时f (1)=3e≠0.
所以a的值为1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f ′(x)=[ax2–(2a+1)x+2]ex=(ax–1)(x–2)ex.
若a>,则当x∈(,2)时,f ′(x)<0;
当x∈(2,+∞)时,f ′(x)>0.
所以f (x)<0在x=2处取得极小值.
若a≤,则当x∈(0,2)时,x–2<0,ax–1≤x–1<0,
所以f ′(x)>0.
所以2不是f (x)的极小值点.
综上可知,a的取值范围是(,+∞).
知识点:高考试题
题型:解答题