已知函数.(1)若函数在上是增函数,求正数的取值范围;(2)当时,设函数的图象与x轴的交点为,,曲线在,两点处...
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已知函数.
(1)若函数在上是增函数,求正数的取值范围;
(2)当时,设函数的图象与x轴的交点为,,曲线在,两点处的切线斜率分别为,,求*:+.
【回答】
(1); (2)见解析.
【分析】
(1)由题意,求得函数的导数,设,分离参数转化为在上恒成立,设,利用导数求得函数的单调*,得到函数的最值,即可得到实数的取值范围;
(2)由,得,,不妨设,利用导数求得两点的斜率,得到+,设,利用导数求得函数的单调*与最大值,即可作出*.
【详解】
(1) ,∴,
设,
函数在上是增函数,∴在上恒成立,即在上恒成立,
设,则,
,∴,∴在上是增函数,
∴,由在上恒成立,得,,
∴,即的取值范围是.
(2),由,得,,不妨设.
,,,+,
设,则,时,,时,,所以为的极大值点,所以的极大值即最大值为,即,
∵且,∴且,
∴,∴+ .
【点睛】
本题主要考查了导数的综合应用,以及利用综合法的*不等关系式,其中解答中函数不等式恒成立或不等式问题时,通常要构造新函数,利用导数研究新函数的单调*、极值与最值,从而求出参数的取值范围.同时利用综合法*题是从已知条件出发,逐步推向结论,综合法的适用范围是:①定义明确的问题,如*函数的单调*、奇偶*,求*无条件的等式或不等式;②已知条件明确,并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型.
知识点:导数及其应用
题型:解答题