已知函数，.（1）讨论函数的单调*；（2）若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范围．
来源：语文精选馆 1.3W
问题详情：
已知函数
，
.
（1）讨论函数
的单调*；
（2）若存在与函数
，
的图象都相切的直线，求实数
的取值范围．
【回答】
【详解】（1）函数
的定义域为
,
，
所以
所以当
即
时，
，
在
上单调递增；
当
即
时，
当
时
，
在
上单调递增；
当
时，令
得
| | | |
| + | - | + |
| 增 | 减 | 增 |
综上：当
时，
在
上单调递增；当
时
在
，
单调递增，在
单调递减.
（2）设函数
在点
与函数
在点
处切线相同，
，则
，
由
，得
，再由
得
，把
代入上式得
设
（∵x2＞0，∴x∈（0，+∞））,
则
不妨设
.
当
时，
，当
时，
所以
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
把
代入可得：
设
，则
对
恒成立，
所以
在区间
上单调递增，又
所以当
时
，即当
时
,
又当
时，
因此当
时，函数
必有零点；即当
时，必存在
使得
成立；
即存在
使得函数
在点
与函数
在点
处切线相同．
又由
单调递增得，因此
所以实数
的取值范围是
．
知识点：*与函数的概念
题型：解答题
