已知函数，其中．（1）讨论函数的单调*；（2）设，若对于任意的，，有，求实数的取值范围．

问题详情：

已知函数，其中．

（1）讨论函数的单调*；

（2）设，若对于任意的，，有，求实数的取值范围．

【回答】

解：（1）函数的定义域为，

．

①若，则当时，，所以函数在区间上单调递减；当时，，所以函数在区间上单调递增．

②若，则当或时，，所以函数在区间，上均单调递增；当时，，所以函数在区间上单调递减．

③若，则当时，，所以函数在区间上单调递增．

④若，则当或时，，所以函数在区间，上均单调递增；当时，，所以函数在区间上单调递减．

综上所述，

当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；

当时，函数在区间，上均单调递增，在区间上单调递减；

当时，函数在区间上单调递增；

当时，函数在区间，上均单调递增，在区间上单调递减．

（2）不妨设，

则可化为．

令，则函数在区间上单调递增．

所以在区间上恒成立．

即在区间上恒成立．（*）

因为，所以，

所以，要使（*）成立，只需，

解得．

故所求实数的取值范围为．

知识点：导数及其应用

题型：解答题