设函数（）.（1）讨论函数的单调*；（2）若关于x的方程有唯一的实数解，求a的取值范围.
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问题详情：
设函数
（
）.
（1）讨论函数
的单调*；
（2）若关于x的方程
有唯一的实数解，求a的取值范围.
【回答】
（1）当
时，
递增区间时
，无递减区间，当
时，
递增区间时
，递减区间时
；（2）
或
.
【分析】
（1）求出
，对
分类讨论，先考虑
（或
）恒成立
的范围，并以此作为
的分类标准，若不恒成立，求解
，即可得出结论；
（2）
有解，即
，令
，转化求函数
只有一个实数解，根据（1）中的结论，即可求解.
【详解】
（1）
，
当
时，
恒成立，
当
时，
，
综上，当
时，
递增区间时
，无递减区间，
当
时，
递增区间时
，递减区间时
；
（2）
，
令
，原方程只有一个解，只需
只有一个解，
即求
只有一个零点时，
的取值范围，
由（1）得当
时，
在
单调递增，
且
，函数只有一个零点，原方程只有一个解
，
当
时，由（1）得
在
出取得极小值，也是最小值，
当
时，
，此时函数只有一个零点，
原方程只有一个解
，
当
且
递增区间时
，递减区间时
；
，当
，
有两个零点，
即原方程有两个解，不合题意，
所以
的取值范围是
或
.
【点睛】
本题考查导数的综合应用，涉及到单调*、零点、极值最值，考查分类讨论和等价转化思想，属于中档题.
知识点：导数及其应用
题型：解答题
