设函数.(1)若a=0时,求函数的单调递增区间;(2)若函数在x=1时取极大值,求实数a的取值范围;(3)设函...
问题详情:
设函数.
(1)若a=0时,求函数的单调递增区间;
(2)若函数在x=1时取极大值,求实数a的取值范围;
(3)设函数的零点个数为m,试求m的最大值.
【回答】
(1)单调增区间为(1,+¥)(2)(3)2
【分析】
(1)求导得到函数的单调增区间.
(2)求导,讨论,,或,几种情况,分别计算函数极值得到*.
(3)考虑,两种情况,求导得到单调区间,计算极值判断零点个数,得到*.
【详解】
(1)当a=0时,,所以,由得x=1,
当xÎ(0,1)时,<0;当xÎ(1,+¥)时,>0,
所以函数的单调增区间为(1,+¥).
(2)由题意得,
令(x>0),则,
当≥0即时,>0恒成立,
故在(0,1)上递减,在(1,+¥)上递增,所以x=1是函数的极小值点,不满足;
当即时,此时>0恒成立,
在(0,1)上递减,在(1,+¥)上递增,所以x=1是函数的极小值点,不满足;
当即或时,
在(0,1)上递减,在(1,+¥)上递增,所以x=1是函数的极小值点,不满足;
当时,解得或(舍),
当时,设的两个零点为,,所以=1,不妨设0<<,
又,所以0<<1<,故,
当xÎ(0,)时,<0;当xÎ(,1)时,>0;当xÎ(1,)时,<0;当xÎ(,+¥)时,>0;
∴在(0,)上递减,在(,1)上递增,在(1,)上递减,在(,+¥)上递增;
所以x=1是函数极大值点,满足.
综上所述:.
(3)①由(2)知当时,函数在(0,1)上单调递减,在(1,+¥)上单调递增,故函数至多有两个零点,欲使有两个零点,需,得,
;
,,
故满足函数有2个零点.
②当时,由(2)知在(0,)上递减,在(,1)上递增,在(1,)上递减,在(,+¥)上递增;
而0<<1,所以,
此时函数也至多有两个零点
综上①②所述,函数的零点个数m的最大值为2.
【点睛】
本题考查了函数的单调区间,根据极值求参数,零点个数问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
知识点:导数及其应用
题型:解答题