已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，函数在上的最小值为，若不等式有解，求实数的取值范围．
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问题详情：
已知函数
.
（1）求函数
的单调区间；
（2）当
时，函数
在
上的最小值为
，若不等式
有解，求实数
的取值范围．
【回答】
（1）*见解析；（2）
【解析】
（1）求出导函数，然后根据
的符号进行分类讨论，并借助解不等式组的方法得到单调区间；（2）根据（1）中的结论求出当
时，函数
在
上的最小值
，因此问题转化为
有解，即
有解
，构造函数
，求出函数
的最小值即可得到所求．
【详解】（1）由
，
得
，
①当
时，
令
，得
，
所以
，或
，即
或
，
解得
或
．
令
，得
，
所以
或
，即
或
，
解得
或
．
所以函数
的单调递增区间为
，
；单调递减区间为
．
②当
时，
令
，得
，由①可知
；
令
，得
，由①可知
或
．
所以函数
的单调递增区间为
；单调递减区间为
，
．
综上可得，
当
时，
的单调递增区间为
，
；单调递减区间为
．
当
时，
的单调递增区间为
；单调递减区间为
，
．
（2）由（1）可知若
，则当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
所以不等式
有解等价于
有解，
即
有解
，
设
，则
，
所以当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
的极小值也是最小值，且最小值为
，
从而
，
所以实数
的取值范围为
．
【点睛】（1）求函数的单调区间时，若函数解析式中含有字母、并且字母对结果产生影响时，需要对字母进行分类讨论，讨论时要选择合适的标准，同时分类时要做到不重不漏．
（2）解答不等式有解的问题时，常用的方法是分离参数后转化为求函数的最值的问题，解题时要用到以下结论：
在
上有解
；
在
上有解
．若函数的最值不存在，则可利用函数值域的端点值来代替．
知识点：不等式
题型：解答题
