已知函数满足:①;②.(Ⅰ)设,若函数()在区间上单调递增,求实数的取值范围;(Ⅱ)设函数,讨论此函数在定义域...
问题详情:
已知函数满足:①;②.
(Ⅰ)设,若函数()在区间上单调递增,求实数的取值范围;
(Ⅱ)设函数,讨论此函数在定义域范围内的零点个数.
【回答】
解:(Ⅰ), ①
又,即,②
将①式代入②式,得,又∵
∴,. ……………………………………………2分
依题意有
在区间上单调递增,
又函数在区间上单调递增
且在区间上恒成立 ……………………4分
,即 解得
故实数的取值范围是.……………………………………6分
(Ⅱ)方法1 ∵ 函数
有解,即
又∵
∴ 的最小值为,
∴
又
即 (*)
∴当t>2时,方程(*)有2个不同的实数根;
当t=2时,方程(*)有1个实数根;
当t<2时,方程(*)没有实数根.
综上:当时t>2,函数在定义域范围内有2个零点;
当t=2时,函数在定义域范围内有1个零点;
当1<t<2时,函数在定义域范围内没有零点.…………12分
方法2∵ 函数
有解,即
又∵
∴ 的最小值为
∴t>1
又
即
∴当t>2时,直线与抛物线有2个不同的交点;
当t=2时,直线与抛物线有1个交点;
当t<2时,直线与抛物线没有交点.
综上:当t>2时,函数在定义域范围内有2个零点;
当t=2时,函数在定义域范围内有1个零点;
当1<t<2时,函数在定义域范围内没有零点.………12分
知识点:*与函数的概念
题型:解答题