已知函数在点处的切线方程为.(1)若函数在时有极值,求的解析式;(2)函数在区间上单调递增,求实数的取值范围.
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问题详情:
已知函数在点处的切线方程为.
(1)若函数在时有极值,求的解析式;
(2)函数在区间上单调递增,求实数的取值范围.
【回答】
解 f′(x)=-3x2+2ax+b,函数f(x)在x=1处的切线斜率为-3,
所以f′(1)=-3+2a+b=-3,即2a+b=0, ①
又f(1)=-1+a+b+c=-2得a+b+c=-1. ②
(1)函数f(x)在x=-2时有极值,
所以f′(-2)=-12-4a+b=0, ③
由①②③解得a=-2,b=4,c=-3,所以f(x)=-x3-2x2+4x-3.
(2)因为函数f(x)在区间[-2,0]上单调递增,所以导函数f′(x)=-3x2-bx+b在区间[-2,0]上的值恒大于或等于零,则
得b≥4,所以实数b的取值范围是[4,+∞).
知识点:导数及其应用
题型:解答题