已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；（3）令，是否存在实数...
来源：语文精选馆 7.54K
问题详情：
已知函数
．
（1）若
，求曲线
在点
处的切线方程；
（2）若函数
在 
上是减函数，求实数
的取值范围；
（3）令
，是否存在实数
，当
（
是自然对数的底数）时，函数
的最小值是
？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
【回答】
1）
；（2）
；（3）
.
【解析】试题分析：（1）欲求在点
处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决． （2）先对函数
进行求导，根据函数
在[1，2]上是减函数可得到其导函数在[1，2]上小于等于0应该恒成立，再结合二次函数的*质可求得
的范围． （3）先假设存在，然后对函数
进行求导，再对
的值分情况讨论函数
在（0，e]上的单调*和最小值取得，可知当
=e2能够保*当
时
有最小值3．
试题解析：
(1)当
时，
所以
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
.
（2）因为函数在
上是减函数，
所以
在[1,3]上恒成立.
令
,有
，得
故
.
（3）假设存在实数a，使
有最小值3，
①
时，
，所以
在
上单调递减，
， 
（舍去）
②当
时，
在
上恒成立， 所以
在
上单调递减，
（舍去）
③当
时，令
，得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增
所以
，
，满足条件
综上，存在实数
，使得
时，
有最小值3．
点睛：导数是研究函数的单调*、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出．导数专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调*；已知单调*求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．
知识点：导数及其应用
题型：解答题
