已知函数，其中为自然对数的底数．（1）试判断函数的单调*；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
来源：语文精选馆 2.08W
问题详情：
已知函数
，其中
为自然对数的底数．
（1）试判断函数
的单调*；
（2）若对任意的
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
【回答】
【解析】（1）由题可知f′（x）=aex-1，
当a≤0时，f′（x）＜0，函数f(x)在R上单调递减，
当a＞0时，令aex-1=0,可得x=-1na，
若x∈（-∞，-1na）,则f′（x）＜0，所以函数f（x）在（-∞，-1na）上单调递减；
若x∈（-1na，+∞），则f′（x）＞0，所以函数f（x）在（-1na，+∞）上单调递增.
综上，当a≤0时，函数f(x)在R上单调递减；当a＞0时，函数f(x)在（-∞，-1na）上单调递减，
在（-1na1，+∞）上单调递增.
（2）由题可知对任意的
，不等式
恒成立，
即对任意的
，
恒成立，
令
，则原问题等价于
，
．
显然函数
在
上单调递减，
令
，
，
则当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，所以函数
在
上单调递减，
所以函数
在
的最大值为
，
所以
，故实数
的取值范围为
．
知识点：基本初等函数I
题型：解答题
